Temel Varsayımlardan Sapmaların Sonuçları:

         Çoklu Doğrusal Biçim:

         EKK yönteminin varsayımlarından birisi açıklayıcı değişkenler arasında ilişki olmaması varsayımıdır. Bu varsayımın ihlal edilmesi çoklu doğrusal bağlantı (ÇDB) sorunu olarak adlandırır.

         Çoklu doğrusal nedenleri şunlardır:

- Bağımsız değişkenlerin aynı trendin etkisinde bulunmaları

- Örnek büyüklüğünün küçük tutulması

- Bazı bağımsız değişkenlerin gecikmeli alınması

         Cari dönem değerleriyle geçmiş dönem değerleri birbiriyle ilişkilidir.

                   Y_t = b₀ + b₁X_t + b₂X_t-1 + b₃X_t-2 + u

                            X_t                         X_t-1

                   –––––––––––      –––––––––––––

                            10                         –

         1991            12                         10

         1992            16                         12

         Çoklu doğrusal bağlantı iki şekilde ortaya çıkar:

a. Tam çoklu doğrusal bağlantı

b. Güçlü çoklu doğrusal bağlantı

         Tan çoklu doğrusal bağlantıda açıklayıcı değişkenler arasında korelasyon kat sayısı 1’e eşittir (r = 1).

         Güçlü çoklu doğrusal bağlantıda ise açıklayıcı değişkenler arasındaki korelasyon katsayısının 1’den küçük fakat 1’e yakın olması durumudur.

         Açıklayıcı değişkenler arasında zayıf bir ilişki bulunması regresyon modellerinde önemli bir sorun doğurmaz.

Çoklu Doğrusal Bağlantının Sonuçları:

1- Regresyon katsayılarına doyurucu ve güvenilir anlamlar verilemez.

                   Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + u                  ve

                   X₂ = kX₁ + v         olsun.

         Burada;

¶Y                         ¶Y

                  –––– = b₁    ve      ––––– = b₂ şeklindedir.

¶X₁ ¶X₂  

         X’deki 1 birimlik değişme karşısında Y’deki değişim  ¶Y/¶X şeklindedir. Ancak yukarıdaki  X₂ = kX₁ + v  eşitliği modelde kullanılırsa  ¶Y/¶X oranı X’deki 1 birimlik değişme karşısında Y’deki miktarı vermez.

2- Katsayıların Varyansları ve dolayısıyla standart hataları büyük çıkar.

                          ð – b

                   t = ––––––

                           s(ð)

         Burada s(ð)’nin büyük olması  t < t_a sonucunu ve dolayısıyla da parametrenin anlamsız olmasına sebep olur.

3- R² değeri olduğundan daha büyük çıkmaktadır.

4- Regresyon katsayıları yanlış işaretli çıkabilmektedir.

5- Açıklayıcı değişkenler arasında tam çoklu doğrusal bağlantı varsa (r = 1);parametre tahminleri belirsiz, Varyans ve standart hataları ise sonsuz büyüklükte olur.

         X₂ = kX₁     ise     r = 1  olur. Bu durumda;

                            0

                   ð = ––––     belirsiz,

                            0

                                  Sayı

                   var(ð) = ––––– = Sonsuz (∞)

                                    0

                   s(ð) = Ö Sayı / 0  = Sonsuz (∞)         olacaktır.

Çoklu Doğrusal Bağlantının Belirlenmesi:

1. Yüksek bir R² değerine karşılık t oranlarının düşük olması

2. Açıklayıcı değişkenler arasındaki yüksek korelasyon katsayıları

         Korelasyon katsayısı bire yakınsa güçlü birçoklu doğrusal bağlantı yaratır. Bire uzaksa çoklu doğrusal bağlantı da o derece uzaktır.

3. Çoklu korelasyon ile kısmi korelasyonların karşılaştırılması

                   Çoklu korelasyon katsayısı → R_Y.X1X2X3 → √R²

                   Kısmi korelasyon katsayısı → r_YX1.X2X3

                                                            → r_YX2.X1X3

                                                            → r_YX3.X1X2

         Çoklu korelasyon katsayısı büyük ise ve kısmi korelasyon katsayıları küçükse x₁,x₂,x₃ arasında çoklu doğrusal bağlantı vardır.

                   R = 0,90

          r_YX1.X2X3 = 0,26

          r_YX2.X1X3 = 0,32

          r_YX3.X1X2 = 0,08

         Burada x₁,x₂,x₃ arasında çoklu doğrusal bağlantı vardır.

4. Varyans büyültme faktörü olarak adlandırılan ve kısaca VIF olarak gösterilen bir istatistik ölçü yardımıyla belirlenir.

5. Yardımcı regresyonlar yöntemiyle belirlenir.

         Burada biz genelde 1. yolu kullanırız.

Çoklu Doğrusal Bağlantının Düzeltilmesi:

         Çoklu doğrusal bağlantı verilerden doğan bir sorundur. Biz bu verileri değiştiremeyiz. Bunun için çözülmesi çok zor bir sorundur. Ama çoklu doğrusal bağlantının sorununu hafifletmek için bazı yöntemler kullanabiliriz:

a. Örnek büyüklüğünü artırma

b. Ön bilgileri kullanma

                   Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + u

                                                                       Konut fiyatları

                                                                       Kullanım alanı

                                                                       0,2

                                                                       Oda sayısı

                   Y = b₀ + b₁X₁ + 0,2X₂ + u

                   Y – 0,2X₂ = b₀ + b₁X₁ + u

                         Y*

                   Y* = b₀ + b₁X₁

         Y                X₁          X₂          Y* (Y – 0,2X₂

                   10                         6                          2                          9,6

                   .                           .                           .                           .

                   .                           .                           .                           .

c. Değişkenleri dönüştürme yöntemi

         Zaman serilerinde daha etkindir.

         X yerine DX veya ln X şekline dönüştürerek yapabiliriz.

d. Modeli daraltma

         Bu uygulama parametre tahminlerini bozacağı için sakıncalıdır.

         Çoklu doğrusal bağlantı durumunda modelden bazı değişkenleri dışlayarak modelin daraltılması yoluna gidilebilir. Ancak modelden değişken dışlarken bağımlı değişken üzerindeki etkisi ihmal edilebilecek düzeyde küçük olan değişkenleri dışlamak durumuna gidilmelidir. Açıklayıcı değişkenler arasından bağımlı değişken üzerindeki etkisi büyük bir değişkeni dışlamak tahminleri DEST olma özelliğini kaybettirir.

                                      Değişen Varyans:

         EKK yönteminin varsayımlarından birisi “hata terimleri sabit varyanslıdır” biçimindedir. Bu varsayımın ihlal edilmesi veya gerçekleşmemesi değişen Varyans olarak adlandırılır.

                   Sabit Varyans → var(u) = E[u_i – E(u_i)]² = σ_u²

              Değişen Varyans → var(u_i) = E[u_i – E(u_i)]² = σ_ui²

         Noktalar bant üzerinde sabit dizilişle yer alıyorsa sabit Varyans söz konusudur.

         Noktalar bant üzerinde artar dizilişte yer alıyorsa artan Varyans söz konusudur.

         Noktalar bant üzerinde azalır dizilişte yer alıyorsa azalan Varyans söz konusudur.

         Bu durumda ise önce artan sonra azalan Varyans söz konusudur.

∑e²

σ² = ––––––

                            n – k

         Bu formül sabit varyansta geçerli olup diğerlerinde geçerli değildir.

                            Değişen Varyansın Nedenleri:

1. Önemli bir açıklayıcı değişkenin model dışında kalması

2. Özellikle yatay kesit verilerinde değişen Varyans hali oldukça yaygın görülür.

Tasarruf

         0        250             500             750             1000            1250            1500            Gelir

                            Değişken Varyansın Sonuçları:

1. EKK tahmincileri sapmasız ve tutarlı olma özelliklerini korumakta ancak minimum varyanslı olma özelliklerini kaybetmektedir (DEST olma özelliği (doğrusal sapmasız en iyi olma özelliği)’ni kaybetmektedirler)

2. EKK tahmincilerinin t ve F testleri anlamlarını kaybetmektedir.

                   Y = b₀ + b₁X + u  şeklindeki modelin;

                                          n . ∑X²

                   var(ð₀) = δ² . ––––––––

∑x²

                                           1

                   var(ð₁) = δ² . ––––

                                         ∑x²

à δ² = s²

                                R² / (k – 1)                 ∑y² / (k – 1)                   ∑y² / (k – 1)

                   F = ––––––––––––––––– = –––––––––––––– = –––––––––––––

                            (1 – R²) / (n – k)             ∑e² / (n – k)                          σ_u²

3. Belli bir X değerine karşılık olan Y öngörüsü (Ŷ), öngörünün varyansı, tahminci ve hata terimlerinin varyanslarını içerdiğinden yüksek varyanslı olacak ve dolayısıyla etkin olmayacaktır.

                            Değişen Varyansın Belirlenmesi:

         2’ye ayrılır:

1. Sistematik olmayan testler (Grafik yöntemleri)

2. Sistematik testler

1. Sistematik Olamayan Testler (Grafik Yöntemleri) :

a. Dağılma Diyagramlarıyla Değişen Varyansın Belirlenmesi:

- Sabit Varyans -

         - Artan Varyans -                                                 Değişen Varyans

         - Azalan Varyans -

b. Standartlaştırılmış Hata Terimleri İle Bağımsız Değişken Arasındaki Diyagramların İzlenmesi:

                            X – Ж

                   Z = ––––––––

S_x

                                                           u_i        u_i

         Standartlaştırılmış hata terimi = ––– = ––––

                                                           σ_u S

e_i / s                               e_i / s                                     e_i / s

  2                                     2                                       2

  1                                     1                                       1

  0                          X        0                         X           0                          X

 -1                                    -1                                      -1

         - Sabit Varyans -            - Artan Varyans -                - Azalan Varyans -

 -2                                    -2                                      -2

c. Hata Terimleri Kareleri İle Bağımsız Değişken Değerlerinin Diyagram Üzerinde Gösterilmesi:

- Sabit Varyans -

                                                  - Değişen Varyans -

Sistematik Testler:

1. Sperman Sıra Korelasyonu Testi:

I. Aşama:

         Ekonometrik model tahmin edilerek hata terimleri (e_i) bulunur.

                   e_i = Y_i – ð₀ – ð₁X_1i – ð₂X_2i … - ð_kX_ki

II. Aşama:

e_i ve X_i bağımsız değişken gözlemleri için sıra numaraları serileri oluşturulur. Ve bu iki seri arasında sıra korelasyonu katsayısı şu formül yardımıyla hesaplanır:

                                         ∑D_i²

                   r_s = 1 – 6 –––––––––––

                                      n(n² – 1)

D → X ve |e|’lerin sıra sayıları arasındaki fark

n  → Örnekteki gözlem sayısı

III. Aşama:

         Hesaplanan sıra korelasyon katsayısının anlamlılığı aşağıdaki t istatistiği yardımıyla test edilir.

                            r_s √ n - 2

                   t_hes = ––––––––––––––––––

                             √ 1 – r_s²

         “n – 2” serbestlik derecesinde  t_hes > t_a/2  ise modelde değişken varyans bulunduğuna karar verilir.

         Bu test çift kuyruk testidir.

Örnek: 20 gözlemli verilerden yararlanılarak bir tasarruf fonksiyonu aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir.

Ŝ_t = -0,566 + 0,124Y_t

^{(0,160)        (0,016)}

                   R² = 0,77    F = 60,90

         Modelde değişen varyans bulunup bulunmadığını araştırmak için hata terimleri serisi bulunarak aşağıdaki seri oluşturulmuştur.

         Y_t → X_t   ve   Ŝ_t → Ŷ_t   olmak üzere;

Yt	|et|	Yt’ nin Sırası	|et|’nin Sırası	Dt	Dt^2
5,700	0,036	1	5	4	16
5,985	0,047	2	7	5	25
6,284	0,021	3	4	1	1
6,768	0,013	4	3	1	1
7,261	0,062	5	10	5	25
7,624	0,037	6	6	0	0
8,005	0,081	7	12	5	25
8,405	0,114	8	14	6	36
8,993	0,011	9	2	7	49
9,712	0,108	10	13	3	9
10,197	0,004	11	1	10	100
10,808	0,053	12	8	4	16
11,132	0,158	13	15	2	4
11,577	0,069	14	11	4	16
11,808	0,060	15	9	7	49
11,453	0,218	16	17	3	9
12,254	0,031	17	16	1	1
12,376	0,304	18	19	1	1
13,734	0,248	19	18	2	4
13,324	0,539	20	20	1	1

                                   6(388)

                   r_s = 1 - ––––––––––– = 0,71

                               20(400 – 1)

                             0,71√ 18

                   t_hes = –––––––––––                 a = 0,05      s.d = n – 2 = 18

                             √ 1 – 0,50

         t > t_a/2  olduğu için modelde %5 önem düzeyinde değişen varyans vardır.

2. Goldfield – Quand Testi :

         Büyük örneklerde yaygın olarak kullanılır.

I. Aşama:

         Gözlem çiftleri varyansın ilişkili olduğu düşünülen bağımsız değişkenin büyüklüğüne göre küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru dizilir.

II. Aşama:

         Ortaya düşen gözlemlerden isteye bağlı olarak bir kısmi (c) çıkarılır. Çıkarılacak gözlem sayısı isteğe bağlı olmakla birlikte otuzdan büyük örneklerde yaklaşık ¼’ünü çıkarmak uygun olacaktır.

         Bu işlem sonucunda iki ayrı veri setine ulaşılmış olur.

III. Aşama:

         Her iki alt örneğe ait iki ayrı regresyon denklemi tahmin edilir.

IV. Aşama:

         Her bir regresyona ait hata kareleri toplamı (∑e₁²  ve  ∑e₂²) hesaplanır.

V. Aşama:

         Bir F istatistiği hesaplanır.

                            ∑e₂² / [{(n-c) / 2} – k]

                   F = –––––––––––––––––––––

                            ∑e₁² / [{(n-c) / 2} – k]

                   v₁ = v₂ = {(n-c) / 2} – k  → serbestlik derecesi

VI. Aşama:

         F > F_a  ise değişen varyans bulunduğuna karar verilir (a→ önem seviyesi).

Örnek: Bir ekonometrik model 40 gözlem kullanılarak tahmin edilmiş olsun. Modelde değişen varyans bulunup bulunmadığını araştırmak için X ve Y gözlem çiftleri X değişkeninin büyüklüğüne göre küçükten büyüğe doğru sıralanmış ve ortadan 10 gözlem çıkarılarak iki ayrı alt örnek elde edilmiştir. Her iki örneğe ait regresyon denklemleri tahmin edilerek aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir;

I. Alt örnek;

                   Ŷ = 0,212 + 0,24X₁

^{(0,09)         (0,12)}

                   R² = 0,243            ∑e₁² = 2,752

II. Alt örnek;

                   Ŷ = 2,390 + 0,781X₁

        ^{(0,95)           (0,38)}

                   R² = 0,743            ∑e₂² = 8,921

         Modelde değişen varyans bulunup bulunmadığına karar veriniz.

                            8,921 / 13

                   F = ––––––––––– = 3,24

                            2,752 / 13

         v₁ = v₂ = 13          a = 0,05      F_a = 2,60

         Burada F > F_a  olduğu için modelde %5 önem düzeyinde değişen varyans vardır.

3. Glejser Testi :

         Bu testin en önemli özelliği değişen varyansın, yani  σ_ui² = f(X_i)  ilişkisinin şekli hakkında bilgi vermesidir. Bu bilgi değişen varyansın düzeltilmesinde kullanılmaktadır.

I. Aşama:

         Ekonometrik model tahmin edilerek hata terimleri (e_i) bulunur.

                   e_i = Y_i – ð₀ – ð₁X_i

II. Aşama:

         e_i serisinin mutlak değerleri ile varyansın ilişkili olduğu düşünülen X değişkeni arasında çeşitli kalıplarda regresyon denklemleri tahmin edilir.

                   |e_i| = b₁X_i + v_i

                   |e_i| = b₁√ X_i + v_i

                                1

                   |e_i| = b₁ ––– + v_i

                                X_i

                                   1

                   |e_i| = b₁ ––––– + v_i

                                √ X_i

                   |e_i| = b₀ + b₁X_i + v_i

                   |e_i| = √ b₀ + b₁X_i + v_i

                   |e_i| = √ b₀ + b₁X_i² + v_i

III. Aşama:

         II. Aşamada elde edilen regresyon tahminlerindeki b1 parametrelerinin anlamlılığına bakılarak değişen varyans bulunup bulunmadığına karar verilir. Tahmin edilen regresyon denklemlerinin herhangi birisinde b1 parametresinin anlamlı olduğu görülürse başlangıç modelinde değişen varyans bulunduğuna karar verilir.

Değişen Varyansın Düzeltilmesi:

1. Varyansın (σ_i²) Bilinmesi Durumu:

                   Y_i = b₀ + b₁X_i + u_i →  Başlangıç modeli

                   var(u) = σ_i²                     → Değişen varyans

                   Y_i             1           X_i      u_i

                 –––– = b₀ ––– + b₁ ––– + –––

σ_i             σ_i σ_i σ_i

                    Y_i*                      X_i*   u_i*

                   Y_i* = b₀σ_i + b₁X_i* + u_i*  → Dönüştürülmüş model

         Başlangıç modelinde hata teriminin değişen varyanslı olması durumunda modelde eşitliğin her iki tarafı değişen varyansın kareköküne bölünerek bir dönüştürülmüş model elde edilir. Bu dönüştürülmüş modele EKK uygulanmak suretiyle parametrelerin tahmini yoluna gidilir. Bu yolla elde edilen parametre tahminleri başlangıç modelinden elde edilecek parametre tahminlerinin aksine istenen özelliklere sahip olmaktadır.

         EKK ile ilgili diğer bütün işlemler bu dönüştürülmüş model üstünden yürütülür.

2. Varyansın (σ_i²) Bilinmemesi Durumu:

I. Durum:

                   Y_i = b₀ + b₁X_i + u_i → Başlangıç modeli ve

σ_i² = σ²X_i²   şeklinde bilinmeyen varyans hakkında varsayımda bulununuz.

                   Y_i              1             X_i        u_i

                 –––– = b₀ –––– + b₁ –––– + ––––

                   X_i              X_i            X_i        X_i

                   Y_i*           X_i*           1        u*

                   Y* = b₀X* + b₁ + u*

         Burada b1 sabit, b₀ eğim durumundadır.

NOT: Varyansın bilinmediği durumlarda varsayımı yapıldığı varyansın ilişkili olduğu değişken kullanılır. Yani dönüştürülmüş modelde eşitliğin her iki tarafı da bu değişkenin kareköküne bölünür.

II. Durum:

                   Y_i = b₀ + b₁X_i + u_i          → Başlangıç modeli

σ_i² = σ²X_i    şeklinde varsayılan varyans kalıbı bulunur.

         Burada da varsayımı yapılan varyansın ilişkili olduğu değişken kullanılır. Eşitliğin her iki tarafı bu ilişkili değişkenin kareköküne bölünür.

                   Y_i               1                      X_i            u_i

                 –––– = b₀ –––– + b₁ ––––– + ––––––

                 √ X_i          √ X_i          √ X_i       √ X_i

                  Y_i*           X₁*           X₂*         u*

                   Y_i* = b₀X₁* + b₁X₂* + u_i*        şeklinde dönüştürülmüş model bulunur.

         Burada parametrelerin ikisi de eğim durumundadır.

III. Durum:

σ_ui² = σ²E[(Y_i)]²

                   Y_i = b₀ + b₁X₁ + u_i            → Başlangıç modeli

σ_ui² = σ²E[(Y_i)]²       → Varyans varsayımı

         Dönüştürülmüş modelimiz;

                     Y_i                 1               X₁          u_i

                 –––––– = b₀ ––––– + b₁ ––––– + –––––

                   E(Y_i)           E(Y_i)          E(Y_i)     E(Y_i)

                      Y*             X₁*            X₂*         u_i*

                   Y* = b₀X₁* + b₁X₂* + u_i*        şeklindedir.

         Burada;

                   E(Y_i) = Ŷ = ð₀ + ð₁X_i        şeklindedir.

Y_i X_i Ŷ_i Y_i* (Y_i/Ŷ) X₁* ( 1/Ŷ) X₂* (X_i/Ŷ)

         .                  .                  .                           .                           .                           .

         .                  .                  .                           .                           .                           .

Eviews Paket Programında Değişen Varyansın Testi ve Düzeltilmesi:

- Testi:

         Burada White testi uygulanmaktadır.

                   White Testi:

         H₀ :    Değişen varyans yoktur.

         H₁ :    Değişen varyans vardır.

                   Y_i = b₀ + b₁X_1i + b₂X_2i + u_i      → Başlangıç modelimiz

I.          Adım:

         Başlangıç regresyonu tahmin edilerek hata terimleri serisi (e_i) elde edilir.

                   e_i = Y_i – ð₀ – ð₁X_1i – ð₂X_2i

II.          Adım:

         Şu yardımcı regresyon tahmin edilir.

                   e_i² = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₁² + a₄X₂² + a₅X₁X₂

III.          Adım:

         n.R²  veya  F testi (değeri) elde edilir.

IV.Adım:

         n.R² > Х²(k’ – 1)  elde edilir.

à k’ ; yardımcı regresyondaki parametre sayısıdır.

         Böyle bir durumla karşılaşılırsa H₀ red ve değişen varyansın varlığı kabul edilir.

         F testine göre değerlendirmede ise  F > F_a(k – 1)  ise H₀ red ve değişken varyansın varlığı kabul edilir.

         White testi büyük örneklerde uygulanacak bir testtir. Örnek büyüklüğü artınca testin gücü de artmaktadır.

Eviews White Testi:

         View → Residual Test → White Heterosca Burada iki seçenek var;

§ Cross terms

§ No cross terms

         Eviews programında White testi böyle yapılmaktadır.

         Eğer Prob değeri 0,05’ten küçük ise değişen varyans bulunduğuna karar verilir. Aksi halde yoktur.

        Değişen varyans bulunulması sonunda White tarafından önerilen bir düzeltme uygulanmaktadır. Bu düzeltme yaklaşımı standart hataların düzeltilmesi yoluyla gerçekleştirilmektedir. Parametreler EKK tahminiyle aynıdır.

- Düzeltilmesi:

Estimate Equation → Options → √ Heteroscedasticity → OK

         Bu şekilde Eviews programıyla düzeltmeye gidilir.

3. Otokorelasyon:

         Hata terimlerinin birbiriyle ilişkili olması durumudur. EKK yönteminin varsayımlarından birisi hata terimlerinin “birbiriyle ilişkisizdir” biçimindeydi. Eğer bu varsayım ihlal ediliyorsa veya gerçekleşmiyorsa modelde hata terimlerinin otokorelasyon içerdiği ifade edilir.

                   kov(u_iu_j) = E(u_iu_j) ≠ 0     şeklinde ifade edilir.

à i ≠ j

         Bu durumda otokorelasyon bulunduğu ifade edilir.

         Hata terimleri arasındaki ilişkiler farklı şekillerde ortaya çıkabilir;

a. Otoregresif Süreç (AR) :

         Hata terimleri arasındaki ilişki;

AR₁= u_t = pu_t-1 + v_t                 → I. Derece otoregresif süreç (I. Dereceden otokorelasyon)

AR₂ = u_t = p₁u_t-1 + p₂u_t-2 + v_t   → II: Derece otoregresif süreç (II. Dereceden otokorelasyon)

AR_k = u_t = p₁u_t-1 + p₂u_t-2 + p_ku_t-k + v_t → k. Derece otoregresif süreç (k. Dereceden otokor.)

b. Hareketli Ortalamalar Süreci (MA) :

         Birinci dereceden hareketli ortalama süreci;

                   MA₁ = u_t = v_t + a₁v_t-1

         n. dereceden hareketli ortalama süreci;

                   MA_n = u_t = v_t + a<