Temel Varsayımlardan Sapmaların Sonuçları:

Çoklu Doğrusal Biçim:

EKK yönteminin varsayımlarından birisi açıklayıcı değişkenler arasında ilişki olmaması varsayımıdır. Bu varsayımın ihlal edilmesi çoklu doğrusal bağlantı (ÇDB) sorunu olarak adlandırır.

Çoklu doğrusal nedenleri şunlardır:

- Bağımsız değişkenlerin aynı trendin etkisinde bulunmaları

- Örnek büyüklüğünün küçük tutulması

- Bazı bağımsız değişkenlerin gecikmeli alınması

Cari dönem değerleriyle geçmiş dönem değerleri birbiriyle ilişkilidir.

Y_t = b₀ + b₁X_t + b₂X_t-1 + b₃X_t-2 + u

X_t X_t-1

––––––––––– –––––––––––––

10 –

1991 12 10

1992 16 12

Çoklu doğrusal bağlantı iki şekilde ortaya çıkar:

a. Tam çoklu doğrusal bağlantı

b. Güçlü çoklu doğrusal bağlantı

Tan çoklu doğrusal bağlantıda açıklayıcı değişkenler arasında korelasyon kat sayısı 1’e eşittir (r = 1).

Güçlü çoklu doğrusal bağlantıda ise açıklayıcı değişkenler arasındaki korelasyon katsayısının 1’den küçük fakat 1’e yakın olması durumudur.

Açıklayıcı değişkenler arasında zayıf bir ilişki bulunması regresyon modellerinde önemli bir sorun doğurmaz.

Çoklu Doğrusal Bağlantının Sonuçları:

1- Regresyon katsayılarına doyurucu ve güvenilir anlamlar verilemez.

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + u ve

X₂ = kX₁ + v olsun.

Burada;

¶Y ¶Y

–––– = b₁ ve ––––– = b₂ şeklindedir.

¶X₁ ¶X₂

X’deki 1 birimlik değişme karşısında Y’deki değişim ¶Y/¶X şeklindedir. Ancak yukarıdaki X₂ = kX₁ + v eşitliği modelde kullanılırsa ¶Y/¶X oranı X’deki 1 birimlik değişme karşısında Y’deki miktarı vermez.

2- Katsayıların Varyansları ve dolayısıyla standart hataları büyük çıkar.

ð – b

t = ––––––

s(ð)

Burada s(ð)’nin büyük olması t < t_a sonucunu ve dolayısıyla da parametrenin anlamsız olmasına sebep olur.

3- R² değeri olduğundan daha büyük çıkmaktadır.

4- Regresyon katsayıları yanlış işaretli çıkabilmektedir.

5- Açıklayıcı değişkenler arasında tam çoklu doğrusal bağlantı varsa (r = 1);parametre tahminleri belirsiz, Varyans ve standart hataları ise sonsuz büyüklükte olur.

X₂ = kX₁ ise r = 1 olur. Bu durumda;

ð = –––– belirsiz,

Sayı

var(ð) = ––––– = Sonsuz (∞)

s(ð) = Ö Sayı / 0 = Sonsuz (∞) olacaktır.

Çoklu Doğrusal Bağlantının Belirlenmesi:

1. Yüksek bir R² değerine karşılık t oranlarının düşük olması

2. Açıklayıcı değişkenler arasındaki yüksek korelasyon katsayıları

Korelasyon katsayısı bire yakınsa güçlü birçoklu doğrusal bağlantı yaratır. Bire uzaksa çoklu doğrusal bağlantı da o derece uzaktır.

3. Çoklu korelasyon ile kısmi korelasyonların karşılaştırılması

Çoklu korelasyon katsayısı → R_Y.X₁_X₂_X₃→ √R²

Kısmi korelasyon katsayısı → r_YX₁_.X₂_X₃

→ r_YX₂_.X₁_X₃

→ r_YX₃_.X₁_X₂

Çoklu korelasyon katsayısı büyük ise ve kısmi korelasyon katsayıları küçükse x₁,x₂,x₃ arasında çoklu doğrusal bağlantı vardır.

R = 0,90

r_YX₁_.X₂_X₃= 0,26

r_YX₂_.X₁_X₃= 0,32

r_YX₃_.X₁_X₂= 0,08

Burada x₁,x₂,x₃ arasında çoklu doğrusal bağlantı vardır.

4. Varyans büyültme faktörü olarak adlandırılan ve kısaca VIF olarak gösterilen bir istatistik ölçü yardımıyla belirlenir.

5. Yardımcı regresyonlar yöntemiyle belirlenir.

Burada biz genelde 1. yolu kullanırız.

Çoklu Doğrusal Bağlantının Düzeltilmesi:

Çoklu doğrusal bağlantı verilerden doğan bir sorundur. Biz bu verileri değiştiremeyiz. Bunun için çözülmesi çok zor bir sorundur. Ama çoklu doğrusal bağlantının sorununu hafifletmek için bazı yöntemler kullanabiliriz:

a. Örnek büyüklüğünü artırma

b. Ön bilgileri kullanma

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + u

Konut fiyatları

Kullanım alanı

0,2

Oda sayısı

Y = b₀ + b₁X₁ + 0,2X₂ + u

Y – 0,2X₂ = b₀ + b₁X₁ + u

Y* = b₀ + b₁X₁

Y X₁ X₂ Y* (Y – 0,2X₂

10 6 2 9,6

. . . .

c. Değişkenleri dönüştürme yöntemi

Zaman serilerinde daha etkindir.

X yerine DX veya ln X şekline dönüştürerek yapabiliriz.

d. Modeli daraltma

Bu uygulama parametre tahminlerini bozacağı için sakıncalıdır.

Çoklu doğrusal bağlantı durumunda modelden bazı değişkenleri dışlayarak modelin daraltılması yoluna gidilebilir. Ancak modelden değişken dışlarken bağımlı değişken üzerindeki etkisi ihmal edilebilecek düzeyde küçük olan değişkenleri dışlamak durumuna gidilmelidir. Açıklayıcı değişkenler arasından bağımlı değişken üzerindeki etkisi büyük bir değişkeni dışlamak tahminleri DEST olma özelliğini kaybettirir.

Değişen Varyans:

EKK yönteminin varsayımlarından birisi “hata terimleri sabit varyanslıdır” biçimindedir. Bu varsayımın ihlal edilmesi veya gerçekleşmemesi değişen Varyans olarak adlandırılır.

Sabit Varyans → var(u) = E[u_i – E(u_i)]² = σ_u²

Değişen Varyans → var(u_i) = E[u_i – E(u_i)]² = σ_ui²

Noktalar bant üzerinde sabit dizilişle yer alıyorsa sabit Varyans söz konusudur.

Noktalar bant üzerinde artar dizilişte yer alıyorsa artan Varyans söz konusudur.

Noktalar bant üzerinde azalır dizilişte yer alıyorsa azalan Varyans söz konusudur.

Bu durumda ise önce artan sonra azalan Varyans söz konusudur.

∑e²

σ²= ––––––

n – k

Bu formül sabit varyansta geçerli olup diğerlerinde geçerli değildir.

Değişen Varyansın Nedenleri:

1. Önemli bir açıklayıcı değişkenin model dışında kalması

2. Özellikle yatay kesit verilerinde değişen Varyans hali oldukça yaygın görülür.

Tasarruf

0 250 500 750 1000 1250 1500 Gelir

Değişken Varyansın Sonuçları:

1. EKK tahmincileri sapmasız ve tutarlı olma özelliklerini korumakta ancak minimum varyanslı olma özelliklerini kaybetmektedir (DEST olma özelliği (doğrusal sapmasız en iyi olma özelliği)’ni kaybetmektedirler)

2. EKK tahmincilerinin t ve F testleri anlamlarını kaybetmektedir.

Y = b₀ + b₁X + u şeklindeki modelin;

n . ∑X²

var(ð₀) = δ² . ––––––––

∑x²

var(ð₁) = δ² . ––––

∑x²

à δ² = s²

R² / (k – 1) ∑y² / (k – 1) ∑y² / (k – 1)

F = ––––––––––––––––– = –––––––––––––– = –––––––––––––

(1 – R²) / (n – k) ∑e² / (n – k) σ_u²

3. Belli bir X değerine karşılık olan Y öngörüsü (Ŷ), öngörünün varyansı, tahminci ve hata terimlerinin varyanslarını içerdiğinden yüksek varyanslı olacak ve dolayısıyla etkin olmayacaktır.

Değişen Varyansın Belirlenmesi:

2’ye ayrılır:

1. Sistematik olmayan testler (Grafik yöntemleri)

2. Sistematik testler

1. Sistematik Olamayan Testler (Grafik Yöntemleri) :

a. Dağılma Diyagramlarıyla Değişen Varyansın Belirlenmesi:

- Sabit Varyans -

- Artan Varyans - Değişen Varyans

- Azalan Varyans -

b. Standartlaştırılmış Hata Terimleri İle Bağımsız Değişken Arasındaki Diyagramların İzlenmesi:

X – Ж

Z = ––––––––

S_x

u_i u_i

Standartlaştırılmış hata terimi = ––– = ––––

σ_u S

e_i / s e_i / s e_i / s

2 2 2

1 1 1

0 X 0 X 0 X

-1 -1 -1

- Sabit Varyans - - Artan Varyans - - Azalan Varyans -

-2 -2 -2

c. Hata Terimleri Kareleri İle Bağımsız Değişken Değerlerinin Diyagram Üzerinde Gösterilmesi:

- Sabit Varyans -

- Değişen Varyans -

Sistematik Testler:

1. Sperman Sıra Korelasyonu Testi:

I. Aşama:

Ekonometrik model tahmin edilerek hata terimleri (e_i) bulunur.

e_i = Y_i – ð₀ – ð₁X_1i – ð₂X_2i … - ð_kX_ki

II. Aşama:

e_ive X_i bağımsız değişken gözlemleri için sıra numaraları serileri oluşturulur. Ve bu iki seri arasında sıra korelasyonu katsayısı şu formül yardımıyla hesaplanır:

∑D_i²

r_s = 1 – 6 –––––––––––

n(n² – 1)

D → X ve |e|’lerin sıra sayıları arasındaki fark

n → Örnekteki gözlem sayısı

III. Aşama:

Hesaplanan sıra korelasyon katsayısının anlamlılığı aşağıdaki t istatistiği yardımıyla test edilir.

r_s √ n - 2

t_hes = ––––––––––––––––––

√ 1 – r_s²

“n – 2” serbestlik derecesinde t_hes > t_a_/2 ise modelde değişken varyans bulunduğuna karar verilir.

Bu test çift kuyruk testidir.

Örnek: 20 gözlemli verilerden yararlanılarak bir tasarruf fonksiyonu aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir.

Ŝ_t = -0,566 + 0,124Y_t

^{(0,160) (0,016)}

R² = 0,77 F = 60,90

Modelde değişen varyans bulunup bulunmadığını araştırmak için hata terimleri serisi bulunarak aşağıdaki seri oluşturulmuştur.

Y_t → X_t ve Ŝ_t → Ŷ_t olmak üzere;

Y_t	\|e_t\|	Y_t’ nin Sırası	\|e_t\|’nin Sırası	D_t	D_t²
5,700	0,036	1	5	4	16
5,985	0,047	2	7	5	25
6,284	0,021	3	4	1	1
6,768	0,013	4	3	1	1
7,261	0,062	5	10	5	25
7,624	0,037	6	6	0	0
8,005	0,081	7	12	5	25
8,405	0,114	8	14	6	36
8,993	0,011	9	2	7	49
9,712	0,108	10	13	3	9
10,197	0,004	11	1	10	100
10,808	0,053	12	8	4	16
11,132	0,158	13	15	2	4
11,577	0,069	14	11	4	16
11,808	0,060	15	9	7	49
11,453	0,218	16	17	3	9
12,254	0,031	17	16	1	1
12,376	0,304	18	19	1	1
13,734	0,248	19	18	2	4
13,324	0,539	20	20	1	1

6(388)

r_s = 1 - ––––––––––– = 0,71

20(400 – 1)

0,71√ 18

t_hes = ––––––––––– a = 0,05 s.d = n – 2 = 18

√ 1 – 0,50

t > t_a_/2 olduğu için modelde %5 önem düzeyinde değişen varyans vardır.

2. Goldfield – Quand Testi :

Büyük örneklerde yaygın olarak kullanılır.

I. Aşama:

Gözlem çiftleri varyansın ilişkili olduğu düşünülen bağımsız değişkenin büyüklüğüne göre küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru dizilir.

II. Aşama:

Ortaya düşen gözlemlerden isteye bağlı olarak bir kısmi (c) çıkarılır. Çıkarılacak gözlem sayısı isteğe bağlı olmakla birlikte otuzdan büyük örneklerde yaklaşık ¼’ünü çıkarmak uygun olacaktır.

Bu işlem sonucunda iki ayrı veri setine ulaşılmış olur.

III. Aşama:

Her iki alt örneğe ait iki ayrı regresyon denklemi tahmin edilir.

IV. Aşama:

Her bir regresyona ait hata kareleri toplamı (∑e₁² ve ∑e₂²) hesaplanır.

V. Aşama:

Bir F istatistiği hesaplanır.

∑e₂² / [{(n-c) / 2} – k]

F = –––––––––––––––––––––

∑e₁² / [{(n-c) / 2} – k]

v₁ = v₂ = {(n-c) / 2} – k → serbestlik derecesi

VI. Aşama:

F > F_a ise değişen varyans bulunduğuna karar verilir (a→ önem seviyesi).

Örnek: Bir ekonometrik model 40 gözlem kullanılarak tahmin edilmiş olsun. Modelde değişen varyans bulunup bulunmadığını araştırmak için X ve Y gözlem çiftleri X değişkeninin büyüklüğüne göre küçükten büyüğe doğru sıralanmış ve ortadan 10 gözlem çıkarılarak iki ayrı alt örnek elde edilmiştir. Her iki örneğe ait regresyon denklemleri tahmin edilerek aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir;

I. Alt örnek;

Ŷ = 0,212 + 0,24X₁

^{(0,09) (0,12)}

R² = 0,243 ∑e₁² = 2,752

II. Alt örnek;

Ŷ = 2,390 + 0,781X₁

^{(0,95)
(0,38)}

R² = 0,743 ∑e₂² = 8,921

Modelde değişen varyans bulunup bulunmadığına karar veriniz.

8,921 / 13

F = ––––––––––– = 3,24

2,752 / 13

v₁ = v₂ = 13 a = 0,05 F_a = 2,60

Burada F > F_a olduğu için modelde %5 önem düzeyinde değişen varyans vardır.

3. Glejser Testi :

Bu testin en önemli özelliği değişen varyansın, yani σ_ui² = f(X_i) ilişkisinin şekli hakkında bilgi vermesidir. Bu bilgi değişen varyansın düzeltilmesinde kullanılmaktadır.

I. Aşama:

Ekonometrik model tahmin edilerek hata terimleri (e_i) bulunur.

e_i = Y_i – ð₀ – ð₁X_i

II. Aşama:

e_i serisinin mutlak değerleri ile varyansın ilişkili olduğu düşünülen X değişkeni arasında çeşitli kalıplarda regresyon denklemleri tahmin edilir.

|e_i| = b₁X_i + v_i

|e_i| = b₁√ X_i + v_i

|e_i| = b₁ ––– + v_i

X_i

|e_i| = b₁ ––––– + v_i

√ X_i

|e_i| = b₀ + b₁X_i + v_i

|e_i| = √ b₀ + b₁X_i + v_i

|e_i| = √ b₀ + b₁X_i² + v_i

III. Aşama:

II. Aşamada elde edilen regresyon tahminlerindeki b1 parametrelerinin anlamlılığına bakılarak değişen varyans bulunup bulunmadığına karar verilir. Tahmin edilen regresyon denklemlerinin herhangi birisinde b1 parametresinin anlamlı olduğu görülürse başlangıç modelinde değişen varyans bulunduğuna karar verilir.

Değişen Varyansın Düzeltilmesi:

1. Varyansın (σ_i²) Bilinmesi Durumu:

Y_i = b₀ + b₁X_i + u_i → Başlangıç modeli

var(u) = σ_i² → Değişen varyans

Y_i 1 X_i u_i

–––– = b₀ ––– + b₁ ––– + –––

σ_i σ_i σ_i σ_i

Y_i* X_i* u_i*

Y_i* = b₀σ_i + b₁X_i* + u_i* → Dönüştürülmüş model

Başlangıç modelinde hata teriminin değişen varyanslı olması durumunda modelde eşitliğin her iki tarafı değişen varyansın kareköküne bölünerek bir dönüştürülmüş model elde edilir. Bu dönüştürülmüş modele EKK uygulanmak suretiyle parametrelerin tahmini yoluna gidilir. Bu yolla elde edilen parametre tahminleri başlangıç modelinden elde edilecek parametre tahminlerinin aksine istenen özelliklere sahip olmaktadır.

EKK ile ilgili diğer bütün işlemler bu dönüştürülmüş model üstünden yürütülür.

2. Varyansın (σ_i²) Bilinmemesi Durumu:

I. Durum:

Y_i = b₀ + b₁X_i + u_i → Başlangıç modeli ve

σ_i² = σ²X_i² şeklinde bilinmeyen varyans hakkında varsayımda bulununuz.

Y_i 1 X_i u_i

–––– = b₀ –––– + b₁ –––– + ––––

X_i X_i X_i X_i

Y_i* X_i* 1 u*

Y* = b₀X* + b₁ + u*

Burada b1 sabit, b₀ eğim durumundadır.

NOT: Varyansın bilinmediği durumlarda varsayımı yapıldığı varyansın ilişkili olduğu değişken kullanılır. Yani dönüştürülmüş modelde eşitliğin her iki tarafı da bu değişkenin kareköküne bölünür.

II. Durum:

Y_i = b₀ + b₁X_i + u_i → Başlangıç modeli

σ_i² = σ²X_i şeklinde varsayılan varyans kalıbı bulunur.

Burada da varsayımı yapılan varyansın ilişkili olduğu değişken kullanılır. Eşitliğin her iki tarafı bu ilişkili değişkenin kareköküne bölünür.

Y_i 1 X_i u_i

–––– = b₀ –––– + b₁ ––––– + ––––––

√ X_i √ X_i √ X_i √ X_i

Y_i* X₁* X₂* u*

Y_i* = b₀X₁* + b₁X₂* + u_i* şeklinde dönüştürülmüş model bulunur.

Burada parametrelerin ikisi de eğim durumundadır.

III. Durum:

σ_ui² = σ²E[(Y_i)]²

Y_i = b₀ + b₁X₁ + u_i → Başlangıç modeli

σ_ui² = σ²E[(Y_i)]² → Varyans varsayımı

Dönüştürülmüş modelimiz;

Y_i 1 X₁ u_i

–––––– = b₀ ––––– + b₁ ––––– + –––––

E(Y_i) E(Y_i) E(Y_i) E(Y_i)

Y* X₁* X₂* u_i*

Y* = b₀X₁* + b₁X₂* + u_i* şeklindedir.

Burada;

E(Y_i) = Ŷ = ð₀ + ð₁X_işeklindedir.

Y_i X_i Ŷ_iY_i* (Y_i/Ŷ) X₁* ( 1/Ŷ) X₂* (X_i/Ŷ)

. . . . . .

Eviews Paket Programında Değişen Varyansın Testi ve Düzeltilmesi:

- Testi:

Burada White testi uygulanmaktadır.

White Testi:

H₀ : Değişen varyans yoktur.

H₁ : Değişen varyans vardır.

Y_i = b₀ + b₁X_1i + b₂X_2i + u_i → Başlangıç modelimiz

I. Adım:

Başlangıç regresyonu tahmin edilerek hata terimleri serisi (e_i) elde edilir.

e_i = Y_i – ð₀ – ð₁X_1i – ð₂X_2i

II. Adım:

Şu yardımcı regresyon tahmin edilir.

e_i² = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₁² + a₄X₂² + a₅X₁X₂

III. Adım:

n.R² veya F testi (değeri) elde edilir.

IV.Adım:

n.R² > Х²(k’ – 1) elde edilir.

à k’ ; yardımcı regresyondaki parametre sayısıdır.

Böyle bir durumla karşılaşılırsa H₀ red ve değişen varyansın varlığı kabul edilir.

F testine göre değerlendirmede ise F > F_a(k – 1) ise H₀ red ve değişken varyansın varlığı kabul edilir.

White testi büyük örneklerde uygulanacak bir testtir. Örnek büyüklüğü artınca testin gücü de artmaktadır.

Eviews White Testi:

View → Residual Test → White Heterosca Burada iki seçenek var;

§ Cross terms

§ No cross terms

Eviews programında White testi böyle yapılmaktadır.

Eğer Prob değeri 0,05’ten küçük ise değişen varyans bulunduğuna karar verilir. Aksi halde yoktur.

Değişen varyans bulunulması sonunda White tarafından önerilen bir düzeltme uygulanmaktadır. Bu düzeltme yaklaşımı standart hataların düzeltilmesi yoluyla gerçekleştirilmektedir. Parametreler EKK tahminiyle aynıdır.

- Düzeltilmesi:

Estimate Equation → Options → √ Heteroscedasticity → OK

Bu şekilde Eviews programıyla düzeltmeye gidilir.

3. Otokorelasyon:

Hata terimlerinin birbiriyle ilişkili olması durumudur. EKK yönteminin varsayımlarından birisi hata terimlerinin “birbiriyle ilişkisizdir” biçimindeydi. Eğer bu varsayım ihlal ediliyorsa veya gerçekleşmiyorsa modelde hata terimlerinin otokorelasyon içerdiği ifade edilir.

kov(u_iu_j) = E(u_iu_j) ≠ 0 şeklinde ifade edilir.

à i ≠ j

Bu durumda otokorelasyon bulunduğu ifade edilir.

Hata terimleri arasındaki ilişkiler farklı şekillerde ortaya çıkabilir;

a. Otoregresif Süreç (AR) :

Hata terimleri arasındaki ilişki;

AR₁= u_t = pu_t-1 + v_t → I. Derece otoregresif süreç (I. Dereceden otokorelasyon)

AR₂ = u_t = p₁u_t-1 + p₂u_t-2 + v_t → II: Derece otoregresif süreç (II. Dereceden otokorelasyon)

AR_k = u_t = p₁u_t-1 + p₂u_t-2 + p_ku_t-k + v_t → k. Derece otoregresif süreç (k. Dereceden otokor.)

b. Hareketli Ortalamalar Süreci (MA) :

Birinci dereceden hareketli ortalama süreci;

MA₁ = u_t = v_t + a₁v_t-1

n. dereceden hareketli ortalama süreci;

MA_n = u_t = v_t + a₁v_t-1 + … + a_nv_t-n

c. Otoregresif ve Hareketli Ortalama Süreci (ARMA) :

Bu süreç;

ARMA_kn= u_t = p₁u_t-1 + … + p_ku_t-k + a₁v_t-1 + … + a_nv_t-n şeklindedir.

Otokorelasyonun nedenleri şunlardır:

o Bazı açıklayıcı değişkenlerin modele alınmaması

o Modelin matematiksel kalıbının yanlış seçilmesi

o Açıklanan değişkende ölçme hatası olması

o Verilerin işlenmesinde hata olması

o Hata teriminin yanlış belirlenmesi

Otokorelasyonun Sonuçları:

Otokorelasyonun ortaya çıkardığı problemler şunlardır;

o Parametre tahminleri sapmasız olmakla birlikte etkin değildirler.

o Hata teriminin varyansı olduğundan küçük tahmin edilmektedir.

o EKK tahminlerine göre yapılan öngörüler etkin değildir.

Otokorelasyonun Belirlenmesi:

1. Grafik Testi:

a. e_t b. e_t

0 Zaman Zaman

- Pozitif Otokorelasyon -

a. e_t b. e_t

Zaman Zaman

- Negatif Otokorelasyon -

a. e_t b. e_t

Zaman Zaman

- Otokorelasyon Olmaması -

2. Durbin – Watson d Testi :

Birinci dereceden otoregresif biçiminde otokorelasyon bulunup bulunmadığını tespit etmeğe yarayan bir testtir.

I. Aşama: Hipotezin kurulması

H₀ : p = 0 (Otokorelasyon yoktur)

H₁ : p ≠ 0 (Otokorelasyon vardır)

P → Otokorelasyon katsayısı

II. Aşama: Tablo değerinin bulunması

d_L → Alt sınır

d_u → Üst sınır bulunur.

a → Önem düzeyi

k’ = k – sabit terim_{(yoksa
sıfır)}

III. Aşama: Karşılaştırma ve karar

Pozitif Negatif

Otokorelasyon Kararsızlık Otokorelasyon Kararsızlık Otokorelasyon

Bölgesi Bölgesi Yok Bölgesi Bölgesi

0 d_L d_u 2 4-d_u 4-d_L 4

Hesaplanan d istatistiğinin, bu tabloda düştüğü yere göre;

· 0 < d < d_L ise pozitif otokorelasyon

· d_L ≤ d ≤ d_u ise kakar verilememekte

· d_u < d < 4-d_u ise otokorelasyon yoktur

· 4-d_u ≤ d ≤ 4-d_L ise karar verilememekte

· 4-d_L< d < 4 ise negatif otokorelasyon vardır.

3. Von – Neumann Testi :

n ≥ 15 için bu test tercih edilmektedir.

I. Dereceden otokorelasyon için kullanılır.

Bu test için geliştirilmiş olan v oranı formülü;

∑(e_t – e_t-1)² / (n’ – 1)

v = ––––––––––––––––––––

∑e_t² / n’

n’ = n – k

Aynı zamanda;

n’

v = d . ( –––––– ) şeklinde de yazabiliriz.

n – 1

Pozitif Otokorelasyon Negatif

Otokorelasyon Yok Otokorelasyon

v(n’) v*(n’)

a à önem düzeyi

n’ = n – k

Örnek : d = 0,95 , n = 17 , k = 2 ise;

v = 0,95 . ( –––– ) = 1,0178

v_tab = 1,2914 v*_tab = 2,9943

Pozitif Otokorelasyon Negatif

Otokorelasyon Yok Otokorelasyon

1,02 1,29 1,99

Modelimizde %5 önem düzeyinde pozitif otokorelasyon vardır.

4. Breusch – Godfrey Testi :

İstenilen her derecede uygulanabilen bir testtir.

Y_t = b₀ + b₁X_1t + b₂X_2t + u_t → Başlangıç modeli

I. Adım:

Model tahmin edilerek hata terimleri serisi bulunur.

e_t = Y_i – ð₀ – ð₁X_1t – ð₂X_2t

II. Adım:

Araştırılan otokorelasyonun derecesine bağlı olarak şu yardımcı regresyon tahmin edilir:

e_t = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + γ₁e_t-1 + γ₂e_t-2 + … + γ_ne_t-2 + v_t

III. Adım:

n.R² elde edilir.

n.R² > Χ² (k’ – 1)

k’ → Yardımcı regresyondaki parametre sayısı

Böyle bir ilişkide H₀ red ve otokorelasyon vardır.

Örnek: Türkiye’nin 1987 – 2004 dönemi yıllık verileri kullanılarak aşağıdaki tüketim fonksiyonu tahmin edilmiştir.

Tüketim = 69202,4 + 0,60456GSYİH

^(27304,2) ^(0,027)

R² = 0,969

Modelde otokorelasyon bulunup bulunmadığını test etmek için B-G (Breusch – Godfrey) testi uygulamak amacıyla şu yardımcı regresyonlar tahmin edilmiştir;

e_t = 7333,4 – 0,008GSYİH + 0,662e_t-1

R² = 0,441

e_t = -3227 + 0,004GSYİH + 0,864e_t-1 – 0,390e_t-2

R² = 0,472

e_t = -20079,1 + 0,023GSYİH + 0,858e_t-1 – 0,509e_t-2 + 0,126e_t-3– 0,498e_t-4

R² = 0,526

Modelde I.,II.,III. Dereceden otokorelasyon bulunup bulunmadığını test ediniz.

Burada n’yi buluruz; n = 18

Burada kayıp gözlemler sıfırla doldurulduğu için n aynıdır. Boş doldurulsaydı gözlem sayısı n’den çıkarılırdı. Yani n₁ = 17, n₂= 16 ve n₃ = 14 olurdu.

n.R₁² = 7,40

n.R₂² = 8,49

n.R₃² = 9,48

Ki – Kareleri bulunur;

Χ² (k’ – 1) = Χ²(2) = 3,57

Χ²(3) = 5,5

Χ²(5) = 7,5

Burada;

1. n.R₁² > Χ²(2) olduğu için H₀ red ve modelde I. dereceden otokorelasyon vardır.

2. n.R₂² > Χ²(3) olduğu için H₀ red ve modelde II. dereceden otokorelasyon vardır.

3. n.R₃²> Χ²(5) olduğu için H₀ red ve modelde IV. dereceden otokorelasyon vardır.

Otokorelasyonun Düzeltilmesi:

1. Birinci Farklar Yöntemi:

Y_t = b₀ + b₁X_1t+ b₂X_2t+ u_t → Başlangıç modeli

u_t = pu_t-1 + v_t

1. Y_t-1 = b₀ + b₁X_1t-1 + b₂X_2t-2 + u_t-1

2. Y_t – Y_t-1 = 0 + b₁(X_1t – X_1t-1) + b₂(X_2t – X_2t-1) + (u_t – u_t-1)

3. DY_t = b₁DX_1t + b₂DX_2t + Du_t → Dönüştürülmüş model

Burada sabit terim tahmin edilmemiş oluyor.

YAPAY DEĞİŞKENLİ MODELLER

A. Yapay Bağımsız Değişkenli Modeller:

Yapay Değişkenlerin Sabit Terimi Etkilemesi

a. Bağımsız Değişkenlerin Sadece Yapay Değişkenlerden Oluştuğu Modeller

b. Yapay Değişkenlerin Diğer Bağımsız Değişkenlerle Birlikte Yer Aldıkları Modeller

Yapay Değişkenlerin Eğim Katsayılarını Etkilemesi
Yapay Değişkenlerin Regresyon Katsayılarının Değişip Değişmediğinin Testinde Kullanılması
Yapay Değişkenlerin Zaman Serilerinde Mevsim Dalgalanmalarının Etkisini Arındırmak İçin Kullanılması

B. Yapay Bağımlı Değişkenli Modeller

Yapay değişkenli modellerde ölçülemeyen değişkenlere “0” ve “1” değerleri verilir.

A. Yapay Bağımsız Değişkenli Modeller:

Yapay Değişkenlerin Sabit Terimi Etkilemesi:

a. Bağımsız Değişkenlerin Sadece Yapay Değişkenlerden Oluştuğu Modeller:

Y = b₀ + b₁D + u

D à Yapay değişken (1 ↔ 0)

1 à Erkek için

Örneğin; D

0 à Kadın için

Y à Tüketim

Burada sadece yapay bağımsız değişken vardır. Başka değişken bulunmamaktadır. Bu yapay değişken sayısı artabilir de.

Bu tür modellere varyans analizi modelleri de denir.

Örneğimizdeki erkekler için beklenen değer;

E(Y/D=1) = b₀ + b₁

Kadınlar için beklenen değer;

E(Y/D=0) = b₀

Burada erkeklerle kadınlar arasındaki fark “b₁” dir.

Bir (1) ile temsil edilen özelliğe temel özellik denir.

Sıra No Tüketim (Y) Cinsiyet (D)

1 – E 700 1

2 – E . 1

3 – K . 0

4 – E . 1

5 – E . 1

. . .

“b₁” parametresi temel özelliğin diğer özelliklerden farkını ifade etmektedir.

Örnek : Y_i = b₀ + b₁D_i + u_i

Ŷ = 9,02 + 1,64D_i

(0,22)

t = 7,45 r² = 0,87

Burada Y → Tüketim

1 à Erkekler için

D Cinsiyet

0 à Kadınlar için

Burada t değeri 2’den büyük olduğu için b₁ parametresi anlamlıdır.

Burada kadınlarla erkekler arasında 1,64 birimlik farklılık vardır.

Burada kadınlarla erkeklerin ortalaması 9,02’dir.

Erkekler için beklenen tüketim;

E(Y/D=1) = 9,02 + 1,64 = 10,66

Kadınlar için beklenen tüketim;

E(Y/D=0) = 9,02 şeklindedir.

Bu örneğimizi grafikle gösterirsek;

Tüketim

10,66 = b₀ + b₁ Erkekler

10 b₁ = 1,64 D = 1

9,02 = b₀ Kadınlar

9 D = 0

Kadınlar Erkekler Cinsiyet

b. Yapay Değişkenlerin Diğer Bağımsız Değişkenlerle Birlikte Yer Aldıkları Modeller:

Y = b₀ + b₁X_i + b₂D_i + u_i

Y à Tüketim

X_i à Gelir

Kadınlar için 1

D_i à Cinsiyet

Erkekler için 0

Örnek : Y_i = b₀ + b₁X_i + b₂D_i + u_i

Y à Tüketim X à Gelir

1 à Ücret dışı gelirler için

0 à Ücretli gelirler için

Y_i = 71618 + 0,326X_i – 20839D_i

(0,007) (2308)

R² = 0,81

Burada t değeri 2’den büyük olduğu için b₁ ve b₂ parametreleri anlamlıdır.

Ücret dışı kesim için beklenen tüketim;

E(Y/D=1) = 71618 + 0,326X_i – 20839

= 50779 – 0,326X_i

Ücretliler için beklenen tüketim;

E(Y/D=0) = 71618 + 0,326X_i

Örnek : Y_i = b₀ + b₁X_i + b₂D_1i + b₃D_2i + u_i

Y à Tüketim

X à Gelir

1 Erkekler için 1 Gençler için

D_1i D_2i

0 Kadınlar için 0 Yaşlılar için

Yaşlı kadınlar için beklenen tüketim;

E(Y/X,D₁=0,D₂=0) = b₀ + b₁X_i

Yaşlı erkekler için;

E(Y/X,D₁=1,D₂=0) = (b₀ + b₂) + b₁X_i

Genç kadınlar için;

E(Y/X,D₁=0,D₂=1) = (b₀ + b₃) + b₁X_i

Genç erkekler için;

E(Y/X,D₁=1,D₂=1) = (b₀ + b₂ + b₃) + b₁X_i

Burada “b₀” parametresi her iki özelliği sıfır olanları temsil etmektedir.

Burada her bir grupta marjinal tüketim eğilimi “b₁” dir.

“b₂” yaşlı erkeklerin yaşlı kadınlardan farklılığını temsil ediyor.

“b₃” genç kadınların yaşlı kadınlardan farklılığını temsil etmektedir.

Bunu grafikle gösterirsek;

Genç erkekler

b₁Genç kadınlar

b₀+b₂+b₃b₁ Yaşlı erkekler

b₀+b₃ b₁ Yaşlı kadınlar

b₀+b₂b₁

b₀

Yapay Değişkenlerin Eğim Katsayılarını Etkilemesi:

Y_i = b₀ + b₁X_i + b₂D_i + b₃Z_i + u_i

Y à Tüketim

X à Gelir

1 Erkek

D Z_i = D_i . X_i

0 Kadın

Sıra No Y X D_i Z_i

1 22 20 1 20 2 18 14 1 14 3 11 10 0 0 4 14 13 1 13 . . . . . . . . . .

Erkekler için beklenen tüketim fonksiyonu;

E(Y/X,D=1) = (b₀ + b₂) + (b₁ + b₃)X_i

Kadınlar için beklenen tüketim fonksiyonu;

E(Y/X,D=0) = b₀ + b₁X

b₀ temel olarak alınmayan özelliğin (kadınların) sabit terimidir ( otonom tüketimidir).

b₁ kadınların marjinal tüketim eğilimi, b₂ erkeklerin kadınlardan otonom bakımdan farklılığını ifade eder.

b₃ ise erkeklerin marjinal tüketim eğilimidir.

Örnek: C_i = b₀ + b₁Y_i + b₂D_i + b₃Z_i + u_i

C_i à i’nci öğrencinin tüketimi

Y_i à i’nci öğrencinin geliri

1 erkek

D_i Z_i = D_i . X_i

0 kadın

C_i = 17,642 + 0,942Y_i + 30,070D_i + 0,011Z_i

(0,020) (36,490) (0,026)

R² = 0,914

F = 1743,731

Bu sonuçlara göre gelir sıfır olduğunda erkek öğrencilerin ortalama tüketimi (b₀+b₂) = 47,712 olurken, kız öğrencilerin ortalama tüketimi b₀ = 17,642 olmaktadır.

Erkek öğrencilerin marjinal tüketim eğilimleri (b₁+b₃) = 0,953 iken, kız öğrencilerin marjinal tüketim eğilimleri b₁ = 0,942 olmaktadır.

Görüldüğü gibi erkek ve kız öğrencilerin gerek sabit terimleri ve gerekse marjinal tüketim eğilimleri farklılık göstermektedir. b₂ = 30,070 değeri sabit terim farkı ve b₃ = 0,011 değeri de eğim farkıdır.

Yapay Değişkenlerin Regresyon Katsayılarının Değişip Değişmediğinin Testinde Kullanılması:

Y_t = b₀ + b₁X_t + b₂D_t + b₃Z_t + u_t

Y_t à Tüketim

Z_t à D_t. X_t

1 kriz öncesi

D_t

0 kriz sonrası

Yıllar Y X D Z

1990 - - 0 0 1991 - - 0 0 - - - 0 0 - - - 0 0 kriz - - 1 1 - - - 1 1 - - - 1 1 2000 - - 1 1

Yapay Değişkenlerin Zaman Serilerinde Mevsim Dalgalanmalarının Etkisini Arındırmak İçin Kullanılması:

Y_t = b₀ + b₁X_t + b₂D_1t + b₃D_2t + b₄D_3t + u_t

Model 3 aylık veriler kullanılarak şu tahminler elde edilmiştir.

Y = 3,2706 + 0,0946X + 4,2128D₁ + 1,1866D₂ + 3,5306D₃

^{(0,9345)
(0,0055) (0,3729) (0,3901) (0,4706)}

t 3,4998 17,278 11,296 3,0417 7,5023

R² = 0,9870

Sorular;

- Modelde bağımlı değişken Y (harcama) mevsimlik etkiler içermektedir? %5 önem düzeyinde karar veriniz.

- Mevsimlik etkileri arındıracak beklenen Y değeri nasıl oluşturulur?

Cevaplar;

- Harcama değişkeni mevsimsel etkiler içerir. Çünkü D₁,D₂,D₃ yapay değişkeninin parametreleri sırasıyla 11,3 ; 3,04 ; 7,50 olup yaklaşık 2 olan tablo kritik değerinden büyüktürler.

- E(Y/X,D₁=D₂=D₃= 0) = ð₀ + ð₁X = 3,27 + 0,0946X

B. Yapay Bağımlı Değişkenli Modeller:

D = f(X₁,X₂,X₃,….X_k)

Bu duruma örnek; iflas etmiş etmemiş, kazanmış kazanamamış gibi iki durumun olduğu modellerdir.

Burada sadece iki durumlu bağımlı değişkenli modeller ele alınacaktır.

3’e ayrılır;

1. Doğrusal olasılık modeli

2. Logit (Lojistik) model

3. Probit model

Doğrusal Olasılık Modeli:

D = b₀ + b₁X + u

1 aile doğal gaz kullanıyorsa

0 aile doğal gaz kullanmıyorsa

X à Gelir

Bu durumda EKK uygulanır.

E(D/X) = ð₀ + ð₁X

Örneğin; E(D/X) = 0,84 olması doğalgaz kullanması

E(D/X) = 0,34 olması doğalgaz kullanmaması anlamına gelir.

Yani sonuç olarak 0,50’den büyük veya küçük olmasına göre değerlendirilir.

Orijinden (sıfırdan) çıkan ve biri geçmeyen tahminler daha uygun sayılır. Ancak doğrusal olasılık model değerlerin sıfırın altında ve birin üstünde çıkmasını engelleyememektedir. Bu modelin kusurudur. Diğer modeller bu kusuru düzeltmektedir.

Doğrusal olasılık modelinin 2 önemli sakıncası vardır;

§ Modelden elde edilen beklenen değerler “0” ile “1” arasında olmayabilir.

0 X

Oysa beklenen değerlerin 0 ile 1 arasında bir değer alması beklenir.

u = D – b₀ – b₁X

D = 1 ó u = 1 – b₀ – b₁X

D = 0 ó u = 0 – b₀ – b₁X

§ Bu modelde hata terimi “u = D – b₀ – b₁X” ilişkisinden D = 1 iken “u = 1 – b₀ – b₁X” , D = 0 iken “u = 0 – b₀ – b₁X” elde edilir. Bu durumda hata terimi 2 taraflı değerler almaktadır. Bu hata teriminin normal dağılıma sahip olmayıp binom dağılıma sahip olduğunu gösterir.

Bunun sonucu EKK yönteminden elde edilen tahminlerin hipotez testleri küçük örneklerde geçerli olmayacaktır. Örnek büyüklüğü arttıkça binom dağılımının normal dağılıma yaklaşması nedeniyle anlamlılık testleri ancak büyük örneklerde yapılabilecektir.

Bu sakıncaları gidermek üzere Logit ve Probit modelleri geliştirilmiştir.

Logit (Lojistik) Model:

1 1

P_i = E(Y/1/X) = ––––––––––– = –––––––

1 + e^-(b⁰^+b¹^X) 1 + e^-Zi

e à 2,718

P_i à X karşısında D’nin olma olasılığıdır.

Çıkan sonuç bir olasılıktır. P_i, 0,05’ten büyükse “oldu”, küçükse “olmadı” kabul edilir.

0 X

Burada P değeri bire çok yaklaşır, ama 1 değeri almaz.

Bu ilişkinin doğrusal hale getirilmesi için şu yol uygulanır;

Li = ln ( ––––––) = ln e^Zi = Z_i = b₀ + b₁X

1 – P

Burada P = 1 olduğunda Li = ∞ ve P = 0 olduğunda Lİ = 0 olmaktadır. Bundan dolayı bu tahminlerin bireysel verilerdense gruplandırılmış verilerle tahmin edilmesi daha iyi olur.

Gruplar n P

1 20 0,75 à 20 kişinin %75’i

2 16 0,50 à 16 kişinin %50’si

3 24 0,33 à 24 kişinin %33’ü

4 8 0,25 à 8 kişinin %25’i

n à kişi sayısı

Bu modelde P bahis oranı olarak adlandırılır.

1-P

Bu oran bireysel veriler kullanılarak hesaplanıldığında P = 1 iken “∞” , P = 0 iken “0” değerini alır. Bu nedenle bireysel veriler kullanılarak model EKK tahmini yapılamaz.

Model EKK yöntemi kullanılarak gruplandırılmış veriler durumunda tahmin edilebilir.

Örneğimiz, yukarıda yaptığımız gruplandırılmış verilerdeki gibi ise model EKK ile tahmin edilebilir.

Bireysel veriler kullanılarak tahmin yapmak için en çok olabilirlik yönteminden yararlanılır. Bu yöntemin uygulanması bilgisayar ortamında gerçekleştirilmektedir.

Probit Model:

_Z₀ 1 ₂

F_(Z) = ∫ –––––––––– . e^{– (Z – μZ) / 2.σ}

^-∞ √ 2.π.σ

Bu modelin tahmini EKK ile yapılamamaktadır. Bilgisayar ortamında tahmin yapılmaktadır.

EWİEVS ÖRNEKLERİ